Multiplieur

Multiplieurs

Multiplieur
La multiplication vient en second pour la fréquence d'utilisation.

Porte "AND"

Une porte "AND" multiplie 2 bits. Pour multiplier 2 nombres A et X de n bits chacun, on utilise n² portes "AND" qui multiplient chaque bit de A par chaque bit de X. La somme pondérée de ces n² bits a bien comme valeur le produit P = A * X. Cependant cet ensemble de bits n'est pas un nombre, bien que sa valeur se calcule comme celle d'un nombre.
Comme A < 2ⁿ et X < 2ⁿ, le produit P < 2²ⁿ est écrit comme un nombre a 2n bits.

Multiplication sans signe
Une structure régulière de portes "AND" (non dessinées) et de cellules "FA" formant un assemblage "cohérent" permet d'obtenir les produits partiels puis de les réduire pour finalement obtenir le nombre P. Comme chaque cellules "FA" réduit le nombre de bits de 1 exactement (tout en conservant la valeur de P), la quantité de cellules "FA" strictement nécessaire est n² – 2n (nombre de bits entrants – nombre de bits sortants). Cependant il y en a ici un peu plus car il entre aussi quelques '0' qu'il faut aussi réduire, plus précisément un '0' par chiffre de X. La flèche verticale dévoile ou cache le réseau des fil distribuant A et X. A chaque croisement de ces fils il y a une porte "AND".

Multiplication signée
Si le multiplicande A et le multiplieur X sont en complément à 2, alors les produits avec les bits de signe a_n-1 et x_n-1 doivent être inversés et une constante 1 introduite pour obtenir le complément arithmétique des produits de X et A avec ces deux bits. Le bit de signe de P doit également être inversé.

Multiplieurs rapides

Plusieurs pistes conduisent à une amélioration de la vitesse de la multiplication et/ou une diminution du coût:

Diminuer le nombre de produits partiels à réduire en utilisant des grandes bases (la base 4).
Utiliser une structure cohérente de cellules "FA" en arbres.
Utiliser de cellules "CS", dont le pouvoir de réduction double de celui du "FA" permet en outre les arbres binaires faciles à équilibrer.
Choisir un additionneur final rapide (Kogge & Stone).

Code de Booth "BC"

Réécrire le multiplieur X dans une base de numération plus grande réduit mécaniquement le nombre de chiffres de X.
Voyons la base 4, qui a utilise deux fois moins de chiffres que la base 2 pour la même dynamique. Le "Code de Booth" ( ou "BC" ) est le code de redondance minimale, symétrique, en base 4. Les chiffres Î{-2, -1, -0, 0, 1, 2}. La valeur des chiffres en sortie du circuit est la somme pondérée de 3 bits. Les poids sont -2, 1, 1.
Cependant les produits partiels sont calculés avec une cellule plus complexe qu'un "AND".

Cellule "B2BC" du convertisseur de "BC"
Pour faciliter le produit d'un nombre par un chiffre "BC", on réécrit ce dernier en "signe/valeur absolue" grâce à une cellule "B2BC". Vérifiez que vous maîtrisez les fonctions logiques de la cellule "B2BC" qui conserve la somme (comme le fait la cellule "FA") :
-2*x3 + x2 + x1 = (-1)^s * ( 2*M2 + M1 ) ;

Multiplieur des bits de A par un chiffre "BC"

cellule "CASS"
La multiplication du nombre A par un chiffre "BC" Î {-2, -1, -0, 0, 1, 2} rajoute 2 bits à ceux de A: un pour exprimer A ou 2A, un autre pour la retenue entrante en cas de soustraction.
Si A est signé, il faut étendre son signe sur le bit ajouté. Si A est non signé, il faut encore lui ajouter un bit de signe.
La multiplication de A signé (en complément à 2) par un chiffre "BC" requiert autant de cellules "CASS" que de bits de A plus 1.

Génération des produits partiels
La première étape de la multiplication génère à partie de A et de X des bits dont la somme pondérée vaut le produit P. Le bit de poids fort de P est positif pour la multiplication d'entiers sans signe, et négatif pour la multiplication d'entiers en complément à 2.

Réduction des produits partiels
La deuxième étape de la multiplication réduit les produits partiels issus de l'étape précédente à deux nombres, en conservant la somme pondérée des bits. Ces deux nombres seront additionnés dans la troisième étape.
La synthèse des arbres de Wallace suit l'algorithme de Dadda, qui garanti le minimum d'opérateurs de réduction. Si de plus on impose d'effectuer les réductions le plus tôt ou le plus tard possible, alors la solution est unique et synthétisée toujours de la même façon.
Les deux nombres binaires à ajouter dans la troisième étape peuvent être vus comme un seul nombre en "CS".

Exemple d'arbre de réduction
L'applet suivant réduit 8² produits partiels (le produit de deux nombres sans signe de 8 bits chacun). Les arbres de Wallace réduisent "au plus tard" (touche "tard" de l'applet ci-dessus). La somme pondérée des 16 bits qui sortent vaut après stabilisation la somme pondérée des 64 bits qui entrent.

La case à cocher en haut à gauche autorise l'usage de cellules "CS" dans la réduction. La flèche verticale du bas supprime/rétabli l'additionneur final. Le résultat est en binaire avec l'additionneur et en "CS" sans lui. Le délai de l'addition finale est comparable à celui de l'arbre de réduction.